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TP 3 Numeros#
Ejercicio 1#
Probar que no hay enteros, simultáneamente, pares e impares.
Número par -> Un número entero n n n par si existe un número entero k k k n = 2 k n = 2k n = 2 k n n n
Número impar -> Un número entero n n n impar si existe un número entero k k k n = 2 k + 1 n = 2k + 1 n = 2 k + 1 n n n
Demostración -> Para que un número sea simultáneamente par e impar, debería cumplir ambas definiciones al mismo tiempo.k 1 k_1 k 1 k 2 k_2 k 2
n = 2 k 1 y n = 2 k 2 + 1 n = 2k_1 \quad \text{y} \quad n = 2k_2 + 1 n = 2 k 1 y n = 2 k 2 + 1 Esto implica que:
2 k 1 = 2 k 2 + 1 2k_1 = 2k_2 + 1 2 k 1 = 2 k 2 + 1 Restando ambos lados:
2 k 1 − 2 k 2 = 1 2k_1 - 2k_2 = 1 2 k 1 − 2 k 2 = 1 Simplificando:
2 ( k 1 − k 2 ) = 1 2(k_1 - k_2) = 1 2 ( k 1 − k 2 ) = 1 Conclusión -> Aquí se llega a una contradicción , ya que el lado izquierdo de la ecuación es un número par (por ser múltiplo de 2), mientras que el lado derecho es 1, que es impar.k 1 k_1 k 1 k 2 k_2 k 2
Por lo tanto:
No hay enteros que sean simult a ˊ neamente pares e impares. \text{No hay enteros que sean simultáneamente pares e impares.} No hay enteros que sean simult a ˊ neamente pares e impares. Ejercicio 2#
Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
(a) Si a ∣ 1 entonces a = 1 o a = − 1 a \mid 1 \quad \text{entonces} \quad a = 1 \ \text{o}\ a = -1 a ∣ 1 entonces a = 1 o a = − 1
Respuesta
1 = a·k, con k ∈ ℤ
Para que esta ecuación sea verdadera, k debe ser igual a 1 a \frac{1}{a} a 1 a debe ser un divisor de 1 .
Los divisores de 1 son aquellos números enteros que, multiplicados por otro entero, dan como resultado 1.
ya que 1 = 1 × 1 1 = 1 \times 1 1 = 1 × 1 1 = ( − 1 ) × ( − 1 ) 1 = (-1) \times (-1) 1 = ( − 1 ) × ( − 1 )
La afirmación es VERDADERA.
(b) a ∣ b y b ∣ c entonces a ∣ c a \mid b \ \text{y}\ b \mid c \ \text{entonces}\ a \mid c a ∣ b y b ∣ c entonces a ∣ c
Respuesta
b = a·k₁, con k₁ ∈ ℤ.
c = a·k₁·k₂
La afirmación es VERDADERA.
(c) a ( a − 1 ) es par a(a - 1) \ \text{es par} a ( a − 1 ) es par
Respuesta
Si a es par, (a - 1) es impar y, entonces, el producto es par.
La afirmación es VERDADERA.
(d) x ∣ y y y ∣ z entonces x ∣ y z x \mid y \ \text{y}\ y \mid z \ \text{entonces}\ x \mid yz x ∣ y y y ∣ z entonces x ∣ yz
Respuesta
y = x·k₁, con k₁ ∈ ℤ.
yz = x·k₁·z
La afirmación es VERDADERA.
Ejercicio 3#
Si a un número se lo divide por 5, el resto es 3 y si se lo divide por 7, el resto es 4.
¿Cuál es el resto si se lo divide por 35?
x = 5 k 1 + 3 , k 1 ∈ Z x = 5k_1 + 3, \quad k_1 \in \mathbb{Z} x = 5 k 1 + 3 , k 1 ∈ Z x = 7 k 2 + 4 , k 2 ∈ Z x = 7k_2 + 4, \quad k_2 \in \mathbb{Z} x = 7 k 2 + 4 , k 2 ∈ Z
Igualando ambas expresiones:
5 k 1 + 3 = 7 k 2 + 4 5k_1 + 3 = 7k_2 + 4 5 k 1 + 3 = 7 k 2 + 4 5 k 1 = 7 k 2 + 1 5k_1 = 7k_2 + 1 5 k 1 = 7 k 2 + 1 k 1 = 3 , k 2 = 2 k_1 = 3, \quad k_2 = 2 k 1 = 3 , k 2 = 2 x = 5 × 3 + 3 = 15 + 3 = 18 x = 5 \times 3 + 3 = 15 + 3 = 18 x = 5 × 3 + 3 = 15 + 3 = 18 x = 7 × 2 + 4 = 14 + 4 = 18 x = 7 \times 2 + 4 = 14 + 4 = 18 x = 7 × 2 + 4 = 14 + 4 = 18 x = 35 k 3 + 18 , k 3 ∈ Z x = 35k_3 + 18, \quad k_3 \in \mathbb{Z} x = 35 k 3 + 18 , k 3 ∈ Z
Por lo tanto, si se lo divide por 35, el resto es 18.
Ejercicio 4#
Sean a a a b b b a + b 2 a + b^2 a + b 2
Respuesta
Variables:
a = 11 k 1 + 4 , k 1 ∈ Z a = 11k_1 + 4, \quad k_1 \in \mathbb{Z} a = 11 k 1 + 4 , k 1 ∈ Z b = 11 k 2 + 7 , k 2 ∈ Z b = 11k_2 + 7, \quad k_2 \in \mathbb{Z} b = 11 k 2 + 7 , k 2 ∈ Z
Paso 1 : Calculamos la suma
Sabemos que ambos números son múltiplos de 11 más su respectivo resto.
a + b = 11 k 1 + 4 + 11 k 2 + 7 a + b = 11k_1 + 4 + 11k_2 + 7 a + b = 11 k 1 + 4 + 11 k 2 + 7 a + b = 11 ( k 1 + k 2 ) + 11 a + b = 11 (k_1 + k_2) + 11 a + b = 11 ( k 1 + k 2 ) + 11 a + b = 11 ( k 1 + k 2 + 1 ) a + b = 11 (k_1 + k_2 + 1) a + b = 11 ( k 1 + k 2 + 1 )
Por lo tanto -> a + b = 11 k 3 , k 3 ≡ ( k 1 + k 2 + 1 ) ∈ Z a + b = 11k_3, \quad k_3 \equiv (k_1 + k_2 + 1) \in \mathbb{Z} a + b = 11 k 3 , k 3 ≡ ( k 1 + k 2 + 1 ) ∈ Z
Paso 2 : Calculamos el cuadrado (Elevamos ambos lados al cuadrado):
( a + b ) 2 = ( 11 k 3 ) 2 (a + b)^2 = (11k_3)^2 ( a + b ) 2 = ( 11 k 3 ) 2 ( a + b ) 2 = 11 × 11 k 3 2 (a + b)^2 = 11 \times 11k_3^2 ( a + b ) 2 = 11 × 11 k 3 2 ( a + b ) 2 = 11 k 4 , k 4 ≡ 11 k 3 2 ∈ Z (a + b)^2 = 11k_4, \quad k_4 \equiv 11k_3^2 \in \mathbb{Z} ( a + b ) 2 = 11 k 4 , k 4 ≡ 11 k 3 2 ∈ Z
Por lo tanto, el resto de la división por 11 de ( a + b ) 2 (a + b)^2 ( a + b ) 2
Ejercicio 5#
Convertir los siguientes números de base 10 a base 8:
(a) 98
98 = 8 × 12 + 2 98 = 8 \times 12 + 2 98 = 8 × 12 + 2 12 = 8 × 1 + 4 12 = 8 \times 1 + 4 12 = 8 × 1 + 4 1 = 8 × 0 + 1 1 = 8 \times 0 + 1 1 = 8 × 0 + 1
Por lo tanto:
98 = ( 142 ) 8 98 = (142)_8 98 = ( 142 ) 8
(b) 44
44 = 8 × 5 + 4 44 = 8 \times 5 + 4 44 = 8 × 5 + 4 5 = 8 × 0 + 5 5 = 8 \times 0 + 5 5 = 8 × 0 + 5
Por lo tanto:
44 = ( 54 ) 8 44 = (54)_8 44 = ( 54 ) 8
(c) 20
20 = 8 × 2 + 4 20 = 8 \times 2 + 4 20 = 8 × 2 + 4 2 = 8 × 0 + 2 2 = 8 \times 0 + 2 2 = 8 × 0 + 2
Por lo tanto:
20 = ( 24 ) 8 20 = (24)_8 20 = ( 24 ) 8
Ejercicio 6#
Calcular el máximo común divisor entre:
i) (16, 24)
( 24 , 16 ) = ( 16 , 8 ) = ( 8 , 0 ) = 8 (24, 16) = (16, 8) = (8, 0) = 8 ( 24 , 16 ) = ( 16 , 8 ) = ( 8 , 0 ) = 8
Por lo tanto:
mcd ( 16 , 24 ) = 8 \text{mcd}(16, 24) = 8 mcd ( 16 , 24 ) = 8
ii) (70, 50)
( 70 , 50 ) = ( 50 , 20 ) = ( 20 , 10 ) = ( 10 , 0 ) = 10 (70, 50) = (50, 20) = (20, 10) = (10, 0) = 10 ( 70 , 50 ) = ( 50 , 20 ) = ( 20 , 10 ) = ( 10 , 0 ) = 10
Por lo tanto:
mcd ( 70 , 50 ) = 10 \text{mcd}(70, 50) = 10 mcd ( 70 , 50 ) = 10
iii) (121, 88)
( 121 , 88 ) = ( 88 , 33 ) = ( 33 , 22 ) = ( 22 , 11 ) = ( 11 , 0 ) = 11 (121, 88) = (88, 33) = (33, 22) = (22, 11) = (11, 0) = 11 ( 121 , 88 ) = ( 88 , 33 ) = ( 33 , 22 ) = ( 22 , 11 ) = ( 11 , 0 ) = 11
Por lo tanto:
mcd ( 121 , 88 ) = 11 \text{mcd}(121, 88) = 11 mcd ( 121 , 88 ) = 11
iv) (−90, 90)
( − 90 , 90 ) = ( 90 , 0 ) (-90, 90) = (90, 0) ( − 90 , 90 ) = ( 90 , 0 )
Por lo tanto:
mcd ( − 90 , 90 ) = 90 \text{mcd}(-90, 90) = 90 mcd ( − 90 , 90 ) = 90
v) (980, 224)
( 980 , 224 ) = ( 224 , 84 ) = ( 84 , 56 ) = ( 56 , 28 ) = ( 28 , 0 ) = 28 (980, 224) = (224, 84) = (84, 56) = (56, 28) = (28, 0) = 28 ( 980 , 224 ) = ( 224 , 84 ) = ( 84 , 56 ) = ( 56 , 28 ) = ( 28 , 0 ) = 28
Por lo tanto:
mcd ( 980 , 224 ) = 28 \text{mcd}(980, 224) = 28 mcd ( 980 , 224 ) = 28
Ejercicio 7#
Probar que si a a a b b b
(a) a + b es coprimo con a a + b \ \text{es coprimo con} \ a a + b es coprimo con a
Respuesta
Definición de coprimo -> Dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1.
a = d k 1 , k 1 ∈ Z a = dk_1, \quad k_1 \in \mathbb{Z} a = d k 1 , k 1 ∈ Z a + b = d k 2 , k 2 ∈ Z a + b = dk_2, \quad k_2 \in \mathbb{Z} a + b = d k 2 , k 2 ∈ Z
Igualando ambas expresiones:
d k 1 + b = d k 2 dk_1 + b = dk_2 d k 1 + b = d k 2 b = d k 2 − d k 1 b = dk_2 - dk_1 b = d k 2 − d k 1 b = d ( k 2 − k 1 ) b = d(k_2 - k_1) b = d ( k 2 − k 1 ) b = d k 3 , k 3 ≡ ( k 2 − k 1 ) ∈ Z b = dk_3, \quad k_3 \equiv (k_2 - k_1) \in \mathbb{Z} b = d k 3 , k 3 ≡ ( k 2 − k 1 ) ∈ Z
No hay razón para que a a a b b b d = 1 d = 1 d = 1
( a + b , a ) = 1 (a + b,\, a) = 1 ( a + b , a ) = 1
(b) Si a es no nulo, ( a , 0 ) = ∣ a ∣ \text{Si } a \text{ es no nulo, } (a, 0) = |a| Si a es no nulo, ( a , 0 ) = ∣ a ∣
Respuesta
a = ∣ a ∣ k 1 , k 1 ∈ Z a = |a|k_1, \quad k_1 \in \mathbb{Z} a = ∣ a ∣ k 1 , k 1 ∈ Z 0 = ∣ a ∣ k 2 , k 2 ∈ Z 0 = |a|k_2, \quad k_2 \in \mathbb{Z} 0 = ∣ a ∣ k 2 , k 2 ∈ Z
No hay divisores comunes entre a a a 0 0 0 ∣ a ∣ |a| ∣ a ∣
( a , 0 ) = ∣ a ∣ (a, 0) = |a| ( a , 0 ) = ∣ a ∣
(c) ( a , b ) = 1 entonces m a + n b = k , con m , n , k ∈ Z (a, b) = 1 \ \text{entonces} \ ma + nb = k, \ \text{con } m, n, k \in \mathbb{Z} ( a , b ) = 1 entonces ma + nb = k , con m , n , k ∈ Z
Respuesta
ma + nb= 1.
Ejercicio 8#
Hallar m c d ( 5 k + 3 , 3 k + 2 ) mcd(5k + 3, 3k + 2) m c d ( 5 k + 3 , 3 k + 2 )
Respuesta
( 5 k + 3 , 3 k + 2 ) = ( 3 k + 2 , 2 k + 1 ) = ( 2 k + 1 , k + 1 ) = ( k + 1 , k ) = ( k , 1 ) = ( 1 , 0 ) (5k + 3,\, 3k + 2) = (3k + 2,\, 2k + 1) = (2k + 1,\, k + 1) = (k + 1,\, k) = (k,\, 1) = (1,\, 0) ( 5 k + 3 , 3 k + 2 ) = ( 3 k + 2 , 2 k + 1 ) = ( 2 k + 1 , k + 1 ) = ( k + 1 , k ) = ( k , 1 ) = ( 1 , 0 )
Por lo tanto:
mcd ( 5 k + 3 , 3 k + 2 ) = 1 \text{mcd}(5k + 3,\, 3k + 2) = 1 mcd ( 5 k + 3 , 3 k + 2 ) = 1
Ejercicio 9#
Sean ( a , b ∈ Z ) ( a, b \in \mathbb{Z} ) ( a , b ∈ Z ) p p p ( p ∣ a b ) ( p \mid ab ) ( p ∣ ab ) ( p ∣ a ) ( p \mid a ) ( p ∣ a ) ( p ∣ b ) ( p \mid b ) ( p ∣ b )
Mostrar que esto no se cumple si p p p
Respuesta
a = p 1 e 1 p 2 e 2 … p m e m , p i ∈ Z , i = 1 , 2 , … , m a = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_m^{e_m}, \quad p_i \in \mathbb{Z}, \quad i = 1, 2, \dots, m a = p 1 e 1 p 2 e 2 … p m e m , p i ∈ Z , i = 1 , 2 , … , m
b = q 1 f 1 q 2 f 2 … q n f n , q i ∈ Z , i = 1 , 2 , … , n b = q_1^{f_1} q_2^{f_2} \dots q_n^{f_n}, \quad q_i \in \mathbb{Z}, \quad i = 1, 2, \dots, n b = q 1 f 1 q 2 f 2 … q n f n , q i ∈ Z , i = 1 , 2 , … , n
a b = p s k , k ∈ Z ab = p^s k, \quad k \in \mathbb{Z} ab = p s k , k ∈ Z
donde k k k p p p s s s p p p a b ab ab
Dado que p p p a b ab ab p p p a a a b b b
Esto no se cumple si p p p
p = 6 , a = 2 , b = 3 p = 6, \quad a = 2, \quad b = 3 p = 6 , a = 2 , b = 3
p ∣ a b ⇒ 6 ∣ 6 p \mid ab \Rightarrow 6 \mid 6 p ∣ ab ⇒ 6 ∣ 6
pero
p ∤ a ⇒ 6 ∤ 2 y p ∤ b ⇒ 6 ∤ 3 p \nmid a \Rightarrow 6 \nmid 2 \quad \text{y} \quad p \nmid b \Rightarrow 6 \nmid 3 p ∤ a ⇒ 6 ∤ 2 y p ∤ b ⇒ 6 ∤ 3
Por lo tanto, si p p p no es primo , la propiedad deja de cumplirse.
Ejercicio 10#
Hallar, si existe, un número entero q q q 7290 q 7290q 7290 q
Respuesta
1️⃣ Factorización de 7290
Comenzamos descomponiendo 7290 7290 7290
7290 = 3645 × 2 7290 = 1215 × 3 × 2 7290 = 405 × 3 2 × 2 7290 = 135 × 3 3 × 2 7290 = 45 × 3 4 × 2 7290 = 15 × 3 5 × 2 7290 = 5 × 3 6 × 2 7290 = 3645 \times 2 \\
7290 = 1215 \times 3 \times 2 \\
7290 = 405 \times 3^2 \times 2 \\
7290 = 135 \times 3^3 \times 2 \\
7290 = 45 \times 3^4 \times 2 \\
7290 = 15 \times 3^5 \times 2 \\
7290 = 5 \times 3^6 \times 2 7290 = 3645 × 2 7290 = 1215 × 3 × 2 7290 = 405 × 3 2 × 2 7290 = 135 × 3 3 × 2 7290 = 45 × 3 4 × 2 7290 = 15 × 3 5 × 2 7290 = 5 × 3 6 × 2 Por lo tanto, la factorización prima de 7290 es:
7290 = 2 × 3 6 × 5 7290 = 2 \times 3^6 \times 5 7290 = 2 × 3 6 × 5 2️⃣ Hallar el valor de q q q
Para que 7290 q 7290q 7290 q cubo de un número entero , cada exponente en la factorización debe ser múltiplo de 3.
Actualmente tenemos:
Faltan potencias para que todos los exponentes sean múltiplos de 3.
2 1 → 2 3 2^1 \to 2^3 2 1 → 2 3 2 2 2^2 2 2 3 6 → 3 6 3^6 \to 3^6 3 6 → 3 6 5 1 → 5 3 5^1 \to 5^3 5 1 → 5 3 5 2 5^2 5 2
Por lo tanto:
q = 5 2 × 2 2 q = 5^2 \times 2^2 q = 5 2 × 2 2 q = 25 × 4 = 100 q = 25 \times 4 = 100 q = 25 × 4 = 100 3️⃣ Comprobamos que 7290 q 7290q 7290 q
Multiplicamos ambos:
n 3 = 7290 × 100 n^3 = 7290 \times 100 n 3 = 7290 × 100 Reemplazamos por las factorizaciones:
n 3 = ( 5 × 3 6 × 2 ) × ( 5 2 × 2 2 ) n^3 = (5 \times 3^6 \times 2) \times (5^2 \times 2^2) n 3 = ( 5 × 3 6 × 2 ) × ( 5 2 × 2 2 ) Agrupando factores semejantes:
n 3 = 5 3 × 3 6 × 2 3 n^3 = 5^3 \times 3^6 \times 2^3 n 3 = 5 3 × 3 6 × 2 3 Extraemos la raíz cúbica:
n = ( 5 3 3 6 2 3 ) 1 3 = 5 × 3 2 × 2 n = (5^3 \, 3^6 \, 2^3)^{\frac{1}{3}} = 5 \times 3^2 \times 2 n = ( 5 3 3 6 2 3 ) 3 1 = 5 × 3 2 × 2 Simplificamos:
n = 5 × 9 × 2 = 90 n = 5 \times 9 \times 2 = 90 n = 5 × 9 × 2 = 90 ✅ Por lo tanto:
q = 100 y n = 90. \boxed{q = 100 \quad \text{y} \quad n = 90.} q = 100 y n = 90. Ejercicio 11#
Demostrar que dados a a a b b b Q \mathbb{Q} Q a < b a < b a < b x x x a < x < b a < x < b a < x < b
Respuesta
1️⃣ Punto de partida
Sabemos que a < b a < b a < b racional x x x entre ellos, es decir:
a < x < b . a < x < b. a < x < b . 2️⃣ Proponemos un candidato
Un candidato natural es el promedio aritmético de ambos:
x = a + b 2 . x = \frac{a + b}{2}. x = 2 a + b . Este número es racional porque a , b ∈ Q a, b \in \mathbb{Q} a , b ∈ Q
3️⃣ Demostramos que a < a + b 2 a < \frac{a + b}{2} a < 2 a + b
Partimos de la desigualdad inicial a < b a < b a < b
a + a < a + b a + a < a + b a + a < a + b Sumamos a a a
2 a < a + b 2a < a + b 2 a < a + b Dividimos por 2 (como 2 > 0, la desigualdad se mantiene):
a < a + b 2 a < \frac{a + b}{2} a < 2 a + b ✅ Por lo tanto, el promedio es mayor que a a a .
4️⃣ Demostramos que a + b 2 < b \frac{a + b}{2} < b 2 a + b < b
Partimos nuevamente de a < b a < b a < b b b b
a + b < b + b a + b < b + b a + b < b + b Simplificamos:
a + b < 2 b a + b < 2b a + b < 2 b Dividimos por 2:
a + b 2 < b \frac{a + b}{2} < b 2 a + b < b ✅ Entonces el promedio es menor que ( b ) .
5️⃣ Conclusión
Hemos probado que:
a < a + b 2 < b a < \frac{a + b}{2} < b a < 2 a + b < b Por lo tanto, el número racional x = a + b 2 x = \frac{a + b}{2} x = 2 a + b cumple con la condición pedida.
✅ Resultado final:
x = a + b 2 \boxed{x = \frac{a + b}{2}} x = 2 a + b es un número racional tal que a < x < b a < x < b a < x < b
Ejercicio 12#
Probar que no existe un número racional cuyo cubo sea igual a 2.
Respuesta
1️⃣ Suposición inicial
Supongamos, por contradicción, que existe un número racional p q \frac{p}{q} q p p , q ∈ Z p, q \in \mathbb{Z} p , q ∈ Z q ≠ 0 q \neq 0 q = 0 p p p q q q
( p q ) 3 = 2 \left(\frac{p}{q}\right)^3 = 2 ( q p ) 3 = 2 2️⃣ Desarrollo de la ecuación
Elevando al cubo:
p 3 q 3 = 2 \frac{p^3}{q^3} = 2 q 3 p 3 = 2 Multiplicamos ambos lados por q 3 q^3 q 3
p 3 = 2 q 3 p^3 = 2q^3 p 3 = 2 q 3 Esto implica que p 3 p^3 p 3 un número par , ya que es el doble de otro entero.
3️⃣ Deducción: p p p
Si p 3 p^3 p 3 p p p
p = 2 k p = 2k p = 2 k donde k k k
4️⃣ Sustitución en la ecuación original
Sustituyendo p = 2 k p = 2k p = 2 k p 3 = 2 q 3 p^3 = 2q^3 p 3 = 2 q 3
( 2 k ) 3 = 2 q 3 (2k)^3 = 2q^3 ( 2 k ) 3 = 2 q 3 Desarrollamos:
8 k 3 = 2 q 3 8k^3 = 2q^3 8 k 3 = 2 q 3 Dividimos ambos lados por 2:
4 k 3 = q 3 4k^3 = q^3 4 k 3 = q 3 O equivalentemente:
q 3 = 2 × ( 2 k 3 ) q^3 = 2 \times (2k^3) q 3 = 2 × ( 2 k 3 ) Esto muestra que q 3 q^3 q 3 par , lo cual implica que q q q
5️⃣ Contradicción
Si tanto p p p q q q p q \frac{p}{q} q p forma más simple (coprimos).
6️⃣ Conclusión
Dado que llegamos a una contradicción, no puede existir tal número racional .
No existe un n u ˊ mero racional cuyo cubo sea igual a 2. \boxed{\text{No existe un número racional cuyo cubo sea igual a 2.}} No existe un n u ˊ mero racional cuyo cubo sea igual a 2. Ejercicio 13#
Indique la parte real Re ( z ) \text{Re}(z) Re ( z ) Im ( z ) \text{Im}(z) Im ( z )
a) z = − 49 z = \sqrt{-49} z = − 49
Respuesta
Paso 1 – Reescribimos el número negativo: − 1 -1 − 1 i i i i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
z = − 1 × 49 z = \sqrt{-1 \times 49} z = − 1 × 49 Paso 2 – Separamos los factores:
z = 49 × − 1 z = \sqrt{49} \times \sqrt{-1} z = 49 × − 1 Paso 3 – Simplificamos cada raíz:
z = 7 × − 1 z = 7 \times \sqrt{-1} z = 7 × − 1 Paso 4 – Reemplazamos − 1 = i \sqrt{-1} = i − 1 = i
z = 7 i z = 7i z = 7 i ✅ Entonces, el número complejo es puramente imaginario.
Re ( z ) = 0 \text{Re}(z) = 0 Re ( z ) = 0 Im ( z ) = 7 \text{Im}(z) = 7 Im ( z ) = 7 b) z = − 20 z = \sqrt{-20} z = − 20
Respuesta
Paso 1 – Reescribimos el número negativo:
z = − 1 × 20 z = \sqrt{-1 \times 20} z = − 1 × 20 Paso 2 – Separamos las raíces:
z = 20 × − 1 z = \sqrt{20} \times \sqrt{-1} z = 20 × − 1 Paso 3 – Reemplazamos − 1 \sqrt{-1} − 1
z = 20 i z = \sqrt{20} \, i z = 20 i ✅ El número también es puramente imaginario.
Re ( z ) = 0 \text{Re}(z) = 0 Re ( z ) = 0 Im ( z ) = 20 \text{Im}(z) = \sqrt{20} Im ( z ) = 20 c) z = − 9 16 z = \sqrt{-\dfrac{9}{16}} z = − 16 9
Respuesta
Paso 1 – Separar numerador y denominador en la raíz:
z = − 9 16 z = \frac{\sqrt{-9}}{\sqrt{16}} z = 16 − 9 Paso 2 – Reescribir el número negativo como producto con − 1 -1 − 1
z = − 1 × 9 16 z = \frac{\sqrt{-1 \times 9}}{\sqrt{16}} z = 16 − 1 × 9 Paso 3 – Separar los factores de la raíz:
z = − 1 × 9 16 z = \frac{\sqrt{-1} \times \sqrt{9}}{\sqrt{16}} z = 16 − 1 × 9 Paso 4 – Calcular cada raíz:
z = 3 − 1 4 z = \frac{3\sqrt{-1}}{4} z = 4 3 − 1 Paso 5 – Sustituir − 1 = i \sqrt{-1} = i − 1 = i
z = 3 4 i z = \frac{3}{4}i z = 4 3 i ✅ El número complejo obtenido es puramente imaginario.
Re ( z ) = 0 \text{Re}(z) = 0 Re ( z ) = 0 Im ( z ) = 3 4 \text{Im}(z) = \frac{3}{4} Im ( z ) = 4 3 d) z = − 8 z = -8 z = − 8
Respuesta
Paso 1 – Identificamos el tipo de número:
El valor z = − 8 z = -8 z = − 8 real puro , ya que no tiene parte imaginaria.
Podemos escribirlo como:
z = − 8 + 0 i z = -8 + 0i z = − 8 + 0 i Paso 2 – Determinamos sus componentes:
Re ( z ) = − 8 \text{Re}(z) = -8 Re ( z ) = − 8 Im ( z ) = 0 \text{Im}(z) = 0 Im ( z ) = 0 ✅ Por lo tanto, z z z R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C
e) z = 7 i z = 7i z = 7 i
Respuesta
Paso 1 – Identificamos el tipo de número:
El número z = 7 i z = 7i z = 7 i puramente imaginario , ya que no posee parte real.
Podemos expresarlo como:
z = 0 + 7 i z = 0 + 7i z = 0 + 7 i Paso 2 – Determinamos sus componentes:
Re ( z ) = 0 \text{Re}(z) = 0 Re ( z ) = 0 Im ( z ) = 7 \text{Im}(z) = 7 Im ( z ) = 7 ✅ Por lo tanto, z z z
f) z = ( 3 + i ) + ( 5 − 4 i ) z = (3 + i) + (5 - 4i) z = ( 3 + i ) + ( 5 − 4 i )
Respuesta
Paso 1 – Desarrollamos la suma:
z = 3 + i + 5 − 4 i z = 3 + i + 5 - 4i z = 3 + i + 5 − 4 i Paso 2 – Agrupamos las partes reales e imaginarias:
z = ( 3 + 5 ) + ( 1 − 4 ) i z = (3 + 5) + (1 - 4)i z = ( 3 + 5 ) + ( 1 − 4 ) i Paso 3 – Simplificamos:
z = 8 − 3 i z = 8 - 3i z = 8 − 3 i Paso 4 – Identificamos las componentes:
Re ( z ) = 8 \text{Re}(z) = 8 Re ( z ) = 8 Im ( z ) = − 3 \text{Im}(z) = -3 Im ( z ) = − 3 ✅ Por lo tanto, z = 8 − 3 i z = 8 - 3i z = 8 − 3 i
g) z = 3 i − ( 5 − 2 i ) z = 3i - (5 - 2i) z = 3 i − ( 5 − 2 i )
Respuesta
Paso 1 – Quitamos el paréntesis aplicando el signo menos:
z = 3 i − 5 + 2 i z = 3i - 5 + 2i z = 3 i − 5 + 2 i Paso 2 – Reordenamos los términos reales e imaginarios:
z = − 5 + ( 3 i + 2 i ) z = -5 + (3i + 2i) z = − 5 + ( 3 i + 2 i ) Paso 3 – Simplificamos las partes semejantes:
z = − 5 + 5 i z = -5 + 5i z = − 5 + 5 i Paso 4 – Identificamos las componentes:
Re ( z ) = − 5 \text{Re}(z) = -5 Re ( z ) = − 5 Im ( z ) = 5 \text{Im}(z) = 5 Im ( z ) = 5 ✅ Por lo tanto, z = − 5 + 5 i z = -5 + 5i z = − 5 + 5 i
h) z = 1 + 3 i 3 − i z = \dfrac{1 + 3i}{3 - i} z = 3 − i 1 + 3 i
Respuesta
Paso 1 – Racionalizamos el denominador:
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador 3 + i 3 + i 3 + i
z = ( 1 + 3 i ) ( 3 + i ) ( 3 − i ) ( 3 + i ) z = \dfrac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} z = ( 3 − i ) ( 3 + i ) ( 1 + 3 i ) ( 3 + i ) Paso 2 – Desarrollamos el numerador:
( 1 + 3 i ) ( 3 + i ) = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ i + 3 i ⋅ 3 + 3 i ⋅ i (1 + 3i)(3 + i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot i ( 1 + 3 i ) ( 3 + i ) = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ i + 3 i ⋅ 3 + 3 i ⋅ i Simplificamos:
= 3 + i + 9 i + 3 i 2 = 3 + i + 9i + 3i^2 = 3 + i + 9 i + 3 i 2 Recordando que i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
= 3 + 10 i − 3 = 9 + 10 i + ( − 1 ) ⇒ 9 + 10 i − 1 = 8 + 10 i = 3 + 10i - 3 = 9 + 10i + (-1) \Rightarrow 9 + 10i - 1 = 8 + 10i = 3 + 10 i − 3 = 9 + 10 i + ( − 1 ) ⇒ 9 + 10 i − 1 = 8 + 10 i (En el desarrollo del ejemplo original, los términos se agrupan directamente con la sustitución de i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
Paso 3 – Desarrollamos el denominador:
( 3 − i ) ( 3 + i ) = 3 2 − i 2 = 9 − ( − 1 ) = 10 (3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10 ( 3 − i ) ( 3 + i ) = 3 2 − i 2 = 9 − ( − 1 ) = 10 Paso 4 – Simplificamos la fracción:
z = 9 + 10 i − 3 10 = 10 i 10 = i z = \dfrac{9 + 10i - 3}{10} = \dfrac{10i}{10} = i z = 10 9 + 10 i − 3 = 10 10 i = i Paso 5 – Identificamos las componentes:
Re ( z ) = 0 \text{Re}(z) = 0 Re ( z ) = 0 Im ( z ) = 1 \text{Im}(z) = 1 Im ( z ) = 1 ✅ Por lo tanto, el número complejo resultante es puramente imaginario:
z = i z = i z = i i) z = 1 − i ( 1 + i ) 2 z = \dfrac{1 - i}{(1 + i)^2} z = ( 1 + i ) 2 1 − i
Respuesta
Paso 1 – Expandimos el denominador:
( 1 + i ) 2 = ( 1 + i ) ( 1 + i ) = 1 + 2 i + i 2 (1 + i)^2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2 ( 1 + i ) 2 = ( 1 + i ) ( 1 + i ) = 1 + 2 i + i 2 Como i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i − 1 = 2 i (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i ( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i − 1 = 2 i Por lo tanto:
z = 1 − i 2 i z = \dfrac{1 - i}{2i} z = 2 i 1 − i Paso 2 – Racionalizamos el denominador:
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de 2 i 2i 2 i − 2 i -2i − 2 i
z = ( 1 − i ) ( − 2 i ) 2 i ( − 2 i ) z = \dfrac{(1 - i)(-2i)}{2i(-2i)} z = 2 i ( − 2 i ) ( 1 − i ) ( − 2 i ) Paso 3 – Desarrollamos el numerador:
( 1 − i ) ( − 2 i ) = − 2 i + 2 i 2 = − 2 i − 2 (1 - i)(-2i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 ( 1 − i ) ( − 2 i ) = − 2 i + 2 i 2 = − 2 i − 2 y el denominador:
2 i ( − 2 i ) = − 4 i 2 = 4 2i(-2i) = -4i^2 = 4 2 i ( − 2 i ) = − 4 i 2 = 4 Paso 4 – Simplificamos:
z = − 2 − 2 i 4 = − 1 2 − 1 2 i z = \dfrac{-2 - 2i}{4} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i z = 4 − 2 − 2 i = − 2 1 − 2 1 i Paso 5 – Identificamos las componentes:
Re ( z ) = − 1 2 \text{Re}(z) = -\dfrac{1}{2} Re ( z ) = − 2 1 Im ( z ) = − 1 2 \text{Im}(z) = -\dfrac{1}{2} Im ( z ) = − 2 1 ✅ Por lo tanto,
z = − 1 2 − 1 2 i z = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i z = − 2 1 − 2 1 i es un número complejo con partes real e imaginaria iguales en magnitud y negativas.
Ejercicio 14#
La suma de un número complejo y su conjugado es −8 y la suma de sus módulos es 10. ¿De qué números complejos se trata?
Respuesta
1️⃣ Representación general
Sea:
z = a + i b , z ˉ = a − i b z = a + ib, \quad \bar{z} = a - ib z = a + ib , z ˉ = a − ib 2️⃣ Suma del número con su conjugado
Sabemos que:
z + z ˉ = − 8 z + \bar{z} = -8 z + z ˉ = − 8 Reemplazamos:
( a + i b ) + ( a − i b ) = − 8 (a + ib) + (a - ib) = -8 ( a + ib ) + ( a − ib ) = − 8 Simplificamos:
2 a = − 8 2a = -8 2 a = − 8 Despejamos:
a = − 4 a = -4 a = − 4 3️⃣ Suma de los módulos
También se cumple que:
∣ z ∣ + ∣ z ˉ ∣ = 10 |z| + |\bar{z}| = 10 ∣ z ∣ + ∣ z ˉ ∣ = 10 Pero como el módulo de un número complejo y el de su conjugado son iguales:
∣ z ∣ = ∣ z ˉ ∣ |z| = |\bar{z}| ∣ z ∣ = ∣ z ˉ ∣ Entonces:
2 ∣ z ∣ = 10 2|z| = 10 2∣ z ∣ = 10 Dividimos por 2:
∣ z ∣ = 5 |z| = 5 ∣ z ∣ = 5 4️⃣ Aplicamos la fórmula del módulo
Sabemos que:
∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ∣ z ∣ = a 2 + b 2 Reemplazamos ( a = -4 ):
( − 4 ) 2 + b 2 = 5 \sqrt{(-4)^2 + b^2} = 5 ( − 4 ) 2 + b 2 = 5 Elevamos ambos lados al cuadrado:
16 + b 2 = 25 16 + b^2 = 25 16 + b 2 = 25 Restamos 16:
b 2 = 9 b^2 = 9 b 2 = 9 Tomamos raíz cuadrada:
∣ b ∣ = 3 |b| = 3 ∣ b ∣ = 3 Por lo tanto:
b = ± 3 b = \pm 3 b = ± 3 5️⃣ Soluciones finales
Sustituyendo los valores de ( a ) y ( b ):
z 1 = − 4 + 3 i z_1 = -4 + 3i z 1 = − 4 + 3 i z 2 = − 4 − 3 i z_2 = -4 - 3i z 2 = − 4 − 3 i ✅ Conclusión: -> Los números complejos que cumplen las condiciones dadas son:
z 1 = − 4 + 3 i y z 2 = − 4 − 3 i . \boxed{z_1 = -4 + 3i \quad \text{y} \quad z_2 = -4 - 3i.} z 1 = − 4 + 3 i y z 2 = − 4 − 3 i . Ejercicio 15#
Hallar, si existe, x x x Re ( z ) = Im ( z ) \text{Re}(z) = \text{Im}(z) Re ( z ) = Im ( z ) z = x + 2 i 4 − 3 i z = \dfrac{x + 2i}{4 - 3i} z = 4 − 3 i x + 2 i
Respuesta
1️⃣ Racionalizamos el denominador
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de 4 − 3 i 4 - 3i 4 − 3 i 4 + 3 i 4 + 3i 4 + 3 i
z = ( x + 2 i ) ( 4 + 3 i ) ( 4 − 3 i ) ( 4 + 3 i ) z = \dfrac{(x + 2i)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)} z = ( 4 − 3 i ) ( 4 + 3 i ) ( x + 2 i ) ( 4 + 3 i ) 2️⃣ Desarrollamos el numerador
( x + 2 i ) ( 4 + 3 i ) = 4 x + 3 x i + 8 i + 6 i 2 (x + 2i)(4 + 3i) = 4x + 3xi + 8i + 6i^2 ( x + 2 i ) ( 4 + 3 i ) = 4 x + 3 x i + 8 i + 6 i 2 Como i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
= 4 x + 3 x i + 8 i − 6 = 4x + 3xi + 8i - 6 = 4 x + 3 x i + 8 i − 6 Agrupamos las partes reales e imaginarias:
= ( 4 x − 6 ) + ( 3 x + 8 ) i = (4x - 6) + (3x + 8)i = ( 4 x − 6 ) + ( 3 x + 8 ) i 3️⃣ Desarrollamos el denominador
( 4 − 3 i ) ( 4 + 3 i ) = 4 2 − ( 3 i ) 2 = 16 − ( − 9 ) = 25 (4 - 3i)(4 + 3i) = 4^2 - (3i)^2 = 16 - (-9) = 25 ( 4 − 3 i ) ( 4 + 3 i ) = 4 2 − ( 3 i ) 2 = 16 − ( − 9 ) = 25 4️⃣ Reescribimos z z z
z = ( 4 x − 6 ) + ( 3 x + 8 ) i 25 z = \dfrac{(4x - 6) + (3x + 8)i}{25} z = 25 ( 4 x − 6 ) + ( 3 x + 8 ) i Separando en parte real e imaginaria:
z = 4 x − 6 25 + 3 x + 8 25 i z = \dfrac{4x - 6}{25} + \dfrac{3x + 8}{25}i z = 25 4 x − 6 + 25 3 x + 8 i 5️⃣ Condición: Re ( z ) = Im ( z ) \text{Re}(z) = \text{Im}(z) Re ( z ) = Im ( z )
Igualamos ambas expresiones:
4 x − 6 25 = 3 x + 8 25 \dfrac{4x - 6}{25} = \dfrac{3x + 8}{25} 25 4 x − 6 = 25 3 x + 8 Multiplicamos por 25 y simplificamos:
4 x − 6 = 3 x + 8 4x - 6 = 3x + 8 4 x − 6 = 3 x + 8 Despejamos:
x = 14 x = 14 x = 14 6️⃣ Verificamos el valor de ( z )
Sustituimos ( x = 14 ) en la expresión de ( z ):
z = 4 ( 14 ) − 6 25 + 3 ( 14 ) + 8 25 i z = \dfrac{4(14) - 6}{25} + \dfrac{3(14) + 8}{25}i z = 25 4 ( 14 ) − 6 + 25 3 ( 14 ) + 8 i Calculamos:
z = 56 − 6 25 + 42 + 8 25 i z = \dfrac{56 - 6}{25} + \dfrac{42 + 8}{25}i z = 25 56 − 6 + 25 42 + 8 i z = 50 25 + 50 25 i z = \dfrac{50}{25} + \dfrac{50}{25}i z = 25 50 + 25 50 i z = 2 + 2 i z = 2 + 2i z = 2 + 2 i ✅ Conclusión:
El valor real que cumple la condición es:
x = 14 \boxed{x = 14} x = 14 y el número complejo correspondiente es:
z = 2 + 2 i . \boxed{z = 2 + 2i.} z = 2 + 2 i . Ejercicio 16#
Encontrar, si existe, un valor de k k k 2 − ( 1 + k ) i 1 − k i \frac{2 - (1 + k)i}{1 - ki} 1 − ki 2 − ( 1 + k ) i sea un número real.
Respuesta
1) Racionalizamos el denominador
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de 1 − k i 1-ki 1 − ki 1 + k i 1+ki 1 + ki
z = ( 2 − ( 1 + k ) i ) ( 1 + k i ) ( 1 − k i ) ( 1 + k i ) . z=\frac{(2-(1+k)i)(1+ki)}{(1-ki)(1+ki)}. z = ( 1 − ki ) ( 1 + ki ) ( 2 − ( 1 + k ) i ) ( 1 + ki ) . El denominador queda
( 1 − k i ) ( 1 + k i ) = 1 − ( k i ) 2 = 1 + k 2 . (1-ki)(1+ki)=1-(ki)^2=1+k^2. ( 1 − ki ) ( 1 + ki ) = 1 − ( ki ) 2 = 1 + k 2 . 2) Desarrollamos el numerador
( 2 − ( 1 + k ) i ) ( 1 + k i ) = 2 + 2 k i − ( 1 + k ) i − ( 1 + k ) k i 2 . (2-(1+k)i)(1+ki)
=2+2ki-(1+k)i-(1+k)k\,i^2. ( 2 − ( 1 + k ) i ) ( 1 + ki ) = 2 + 2 ki − ( 1 + k ) i − ( 1 + k ) k i 2 . Como i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1
= 2 + 2 k i − ( 1 + k ) i + ( 1 + k ) k . =2+2ki-(1+k)i+(1+k)k. = 2 + 2 ki − ( 1 + k ) i + ( 1 + k ) k . Separando partes real e imaginaria:
Real: 2 + ( 1 + k ) k = 2 + k + k 2 , Imaginaria: 2 k − ( 1 + k ) = k − 1. \text{Real: } 2+(1+k)k=2+k+k^2, \qquad
\text{Imaginaria: } 2k-(1+k)=k-1. Real: 2 + ( 1 + k ) k = 2 + k + k 2 , Imaginaria: 2 k − ( 1 + k ) = k − 1. Entonces
z = ( 2 + k + k 2 ) + ( k − 1 ) i 1 + k 2 . z=\frac{(2+k+k^2)+(k-1)i}{1+k^2}. z = 1 + k 2 ( 2 + k + k 2 ) + ( k − 1 ) i . 3) Condición para que (z) sea real
z z z ⟺ \iff ⟺ 0 0 0
k − 1 1 + k 2 = 0 ⟹ k − 1 = 0 ⟹ k = 1 . \frac{k-1}{1+k^2}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; k-1=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \boxed{k=1}. 1 + k 2 k − 1 = 0 ⟹ k − 1 = 0 ⟹ k = 1 . 4) Valor de (z) para (k=1)
z = 2 + 1 + 1 1 + 1 = 4 2 = 2 . z=\frac{2+1+1}{1+1}=\frac{4}{2}= \boxed{2}. z = 1 + 1 2 + 1 + 1 = 2 4 = 2 . Conclusión. El valor buscado es k = 1 \boxed{k=1} k = 1 z z z real e igual a 2 \boxed{2} 2
Ejercicio 17#
Calcular las siguientes potencias:
a) i 489 i^{489} i 489
Respuesta
Paso 1 – Usamos el ciclo de potencias de i i i
Recordemos que:
i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 Por lo tanto, las potencias de i i i cada 4 .
Paso 2 – Dividimos el exponente entre 4:
489 = 4 × 122 + 1 489 = 4 \times 122 + 1 489 = 4 × 122 + 1 Paso 3 – Reescribimos la potencia:
i 489 = i 4 × 122 + 1 i^{489} = i^{4 \times 122 + 1} i 489 = i 4 × 122 + 1 i 489 = ( i 4 ) 122 ⋅ i 1 i^{489} = (i^4)^{122} \cdot i^1 i 489 = ( i 4 ) 122 ⋅ i 1 Paso 4 – Simplificamos:
( i 4 ) 122 = 1 122 = 1 (i^4)^{122} = 1^{122} = 1 ( i 4 ) 122 = 1 122 = 1 i 489 = 1 ⋅ i = i i^{489} = 1 \cdot i = i i 489 = 1 ⋅ i = i ✅ Resultado final:
i 489 = i \boxed{i^{489} = i} i 489 = i b) − i 1026 -i^{1026} − i 1026
Respuesta
Paso 1 – Descomponemos el exponente:
1026 = 4 × 256 + 2 1026 = 4 \times 256 + 2 1026 = 4 × 256 + 2 Por lo tanto:
− i 1026 = − i 4 × 256 + 2 -i^{1026} = -i^{4 \times 256 + 2} − i 1026 = − i 4 × 256 + 2 Paso 2 – Aplicamos la propiedad de potencias:
− i 1026 = − ( i 4 × 256 ⋅ i 2 ) -i^{1026} = -\left( i^{4 \times 256} \cdot i^2 \right) − i 1026 = − ( i 4 × 256 ⋅ i 2 ) Paso 3 – Simplificamos usando ( i^4 = 1 ):
− i 1026 = − ( ( i 4 ) 256 ⋅ ( − 1 ) ) -i^{1026} = -\left( (i^4)^{256} \cdot (-1) \right) − i 1026 = − ( ( i 4 ) 256 ⋅ ( − 1 ) ) − i 1026 = − ( 1 256 ⋅ ( − 1 ) ) -i^{1026} = -\left( 1^{256} \cdot (-1) \right) − i 1026 = − ( 1 256 ⋅ ( − 1 ) ) − i 1026 = − ( − 1 ) -i^{1026} = -(-1) − i 1026 = − ( − 1 ) Paso 4 – Resultado final:
− i 1026 = 1 \boxed{-i^{1026} = 1} − i 1026 = 1 c) ( 3 i ) 168 (3i)^{168} ( 3 i ) 168
Respuesta
Paso 1 – Separamos la potencia:
( 3 i ) 168 = 3 168 ⋅ i 168 (3i)^{168} = 3^{168} \cdot i^{168} ( 3 i ) 168 = 3 168 ⋅ i 168 Paso 2 – Descomponemos el exponente de i i i
168 = 4 × 42 + 0 168 = 4 \times 42 + 0 168 = 4 × 42 + 0 Entonces:
i 168 = i 4 × 42 + 0 = ( i 4 ) 42 ⋅ i 0 i^{168} = i^{4 \times 42 + 0} = (i^4)^{42} \cdot i^0 i 168 = i 4 × 42 + 0 = ( i 4 ) 42 ⋅ i 0 Paso 3 – Simplificamos usando i 4 = 1 i^4 = 1 i 4 = 1 i 0 = 1 i^0 = 1 i 0 = 1
i 168 = 1 42 ⋅ 1 = 1 i^{168} = 1^{42} \cdot 1 = 1 i 168 = 1 42 ⋅ 1 = 1 Paso 4 – Reemplazamos en la expresión original:
( 3 i ) 168 = 3 168 ⋅ 1 (3i)^{168} = 3^{168} \cdot 1 ( 3 i ) 168 = 3 168 ⋅ 1 ( 3 i ) 168 = 3 168 (3i)^{168} = 3^{168} ( 3 i ) 168 = 3 168 ✅ Resultado final:
( 3 i ) 168 = 3 168 \boxed{(3i)^{168} = 3^{168}} ( 3 i ) 168 = 3 168 Ejercicio 18#
Dados los siguientes números complejos, encontrar la forma más adecuada para realizar las operaciones pedidas:
z 1 = 3 + 3 i z 2 = − 1 + i z 3 = 5 + 4 i z 4 = 9 z 5 = 5 i z 6 = − 7 z 7 = − 4 − 4 i z 8 = − 8 i z 9 = 2 − 2 i z 10 = 3 − 4 i \begin{aligned}
z_1&=3+3i &\quad z_2&=-1+i &\quad z_3&=5+4i &\quad z_4&=9 &\quad z_5&=5i \\
z_6&=-7 &\quad z_7&=-4-4i &\quad z_8&=-8i &\quad z_9&=2-2i &\quad z_{10}&=3-4i
\end{aligned} z 1 z 6 = 3 + 3 i = − 7 z 2 z 7 = − 1 + i = − 4 − 4 i z 3 z 8 = 5 + 4 i = − 8 i z 4 z 9 = 9 = 2 − 2 i z 5 z 10 = 5 i = 3 − 4 i Operaciones:
a) z 1 + z 7 z_1+z_7 z 1 + z 7
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos los valores:
z 1 + z 7 = ( 3 + 3 i ) + ( − 4 − 4 i ) z_1 + z_7 = (3 + 3i) + (-4 - 4i) z 1 + z 7 = ( 3 + 3 i ) + ( − 4 − 4 i ) Paso 2 – Agrupamos términos reales e imaginarios:
z 1 + z 7 = ( 3 − 4 ) + ( 3 i − 4 i ) z_1 + z_7 = (3 - 4) + (3i - 4i) z 1 + z 7 = ( 3 − 4 ) + ( 3 i − 4 i ) Paso 3 – Simplificamos:
z 1 + z 7 = − 1 − i z_1 + z_7 = -1 - i z 1 + z 7 = − 1 − i ✅ Resultado final:
z 1 + z 7 = − 1 − i \boxed{z_1 + z_7 = -1 - i} z 1 + z 7 = − 1 − i b) z 5 − z 3 z_5 - z_3 z 5 − z 3
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos los valores:
z 5 − z 3 = 5 i − ( 5 + 4 i ) z_5 - z_3 = 5i - (5 + 4i) z 5 − z 3 = 5 i − ( 5 + 4 i ) Paso 2 – Quitamos el paréntesis:
z 5 − z 3 = 5 i − 5 − 4 i z_5 - z_3 = 5i - 5 - 4i z 5 − z 3 = 5 i − 5 − 4 i Paso 3 – Agrupamos las partes reales e imaginarias:
z 5 − z 3 = ( − 5 ) + ( 5 i − 4 i ) z_5 - z_3 = (-5) + (5i - 4i) z 5 − z 3 = ( − 5 ) + ( 5 i − 4 i ) Paso 4 – Simplificamos:
z 5 − z 3 = − 5 + i z_5 - z_3 = -5 + i z 5 − z 3 = − 5 + i ✅ Resultado final:
z 5 − z 3 = − 5 + i \boxed{z_5 - z_3 = -5 + i} z 5 − z 3 = − 5 + i c) z 9 ⋅ z 6 z_9 \cdot z_6 z 9 ⋅ z 6
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos los valores:
z 9 z 6 = ( 2 − 2 i ) ( − 7 ) z_9 z_6 = (2 - 2i)(-7) z 9 z 6 = ( 2 − 2 i ) ( − 7 ) Paso 2 – Distribuimos el producto:
z 9 z 6 = 2 ( − 7 ) − 2 i ( − 7 ) z_9 z_6 = 2(-7) - 2i(-7) z 9 z 6 = 2 ( − 7 ) − 2 i ( − 7 ) z 9 z 6 = − 14 + 14 i z_9 z_6 = -14 + 14i z 9 z 6 = − 14 + 14 i ✅ Resultado final:
z 9 z 6 = − 14 + 14 i \boxed{z_9 z_6 = -14 + 14i} z 9 z 6 = − 14 + 14 i d) z 8 z 10 \dfrac{z_8}{z_{10}} z 10 z 8
Respuesta
Datos:
z 8 = − 8 i , z 10 = 3 − 4 i z_8 = -8i, \qquad z_{10} = 3 - 4i z 8 = − 8 i , z 10 = 3 − 4 i Paso 1 – Escribimos la fracción:
z 8 z 10 = − 8 i 3 − 4 i \dfrac{z_8}{z_{10}} = \dfrac{-8i}{3 - 4i} z 10 z 8 = 3 − 4 i − 8 i Paso 2 – Racionalizamos el denominador:
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de 3 − 4 i 3 - 4i 3 − 4 i 3 + 4 i 3 + 4i 3 + 4 i
z 8 z 10 = − 8 i ( 3 + 4 i ) ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) \dfrac{z_8}{z_{10}} = \dfrac{-8i(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} z 10 z 8 = ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) − 8 i ( 3 + 4 i ) Paso 3 – Desarrollamos el numerador:
− 8 i ( 3 + 4 i ) = − 24 i − 32 i 2 -8i(3 + 4i) = -24i - 32i^2 − 8 i ( 3 + 4 i ) = − 24 i − 32 i 2 Como i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
− 24 i − 32 ( − 1 ) = − 24 i + 32 -24i - 32(-1) = -24i + 32 − 24 i − 32 ( − 1 ) = − 24 i + 32 Paso 4 – Desarrollamos el denominador:
( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) = 9 − ( 4 i ) 2 = 9 − ( − 16 ) = 25 (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 - (4i)^2 = 9 - (-16) = 25 ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) = 9 − ( 4 i ) 2 = 9 − ( − 16 ) = 25 Paso 5 – Reescribimos la expresión:
z 8 z 10 = 32 − 24 i 25 \dfrac{z_8}{z_{10}} = \dfrac{32 - 24i}{25} z 10 z 8 = 25 32 − 24 i z 8 z 10 = 32 25 − 24 25 i \dfrac{z_8}{z_{10}} = \dfrac{32}{25} - \dfrac{24}{25}i z 10 z 8 = 25 32 − 25 24 i ✅ Resultado final:
z 8 z 10 = 32 25 − 24 25 i \boxed{\dfrac{z_8}{z_{10}} = \dfrac{32}{25} - \dfrac{24}{25}i} z 10 z 8 = 25 32 − 25 24 i e) z 3 + z 6 z_3 + z_6 z 3 + z 6
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos los valores:
z 3 + z 6 = ( 5 + 4 i ) + ( − 7 ) z_3 + z_6 = (5 + 4i) + (-7) z 3 + z 6 = ( 5 + 4 i ) + ( − 7 ) Paso 2 – Agrupamos las partes reales e imaginarias:
z 3 + z 6 = ( 5 − 7 ) + 4 i z_3 + z_6 = (5 - 7) + 4i z 3 + z 6 = ( 5 − 7 ) + 4 i Paso 3 – Simplificamos:
z 3 + z 6 = − 2 + 4 i z_3 + z_6 = -2 + 4i z 3 + z 6 = − 2 + 4 i ✅ Resultado final:
z 3 + z 6 = − 2 + 4 i \boxed{z_3 + z_6 = -2 + 4i} z 3 + z 6 = − 2 + 4 i f) z 2 − z 6 z_2 - z_6 z 2 − z 6
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos los valores:
z 2 − z 6 = ( − 1 + i ) − ( − 7 ) z_2 - z_6 = (-1 + i) - (-7) z 2 − z 6 = ( − 1 + i ) − ( − 7 ) Paso 2 – Eliminamos el paréntesis:
z 2 − z 6 = − 1 + i + 7 z_2 - z_6 = -1 + i + 7 z 2 − z 6 = − 1 + i + 7 Paso 3 – Agrupamos términos:
z 2 − z 6 = ( − 1 + 7 ) + i z_2 - z_6 = ( -1 + 7 ) + i z 2 − z 6 = ( − 1 + 7 ) + i Paso 4 – Simplificamos:
z 2 − z 6 = 6 + i z_2 - z_6 = 6 + i z 2 − z 6 = 6 + i ✅ Resultado final:
z 2 − z 6 = 6 + i \boxed{z_2 - z_6 = 6 + i} z 2 − z 6 = 6 + i g) z 3 ⋅ z 10 z_3 \cdot z_{10} z 3 ⋅ z 10
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos los valores:
z 3 z 10 = ( 5 + 4 i ) ( 3 − 4 i ) z_3 z_{10} = (5 + 4i)(3 - 4i) z 3 z 10 = ( 5 + 4 i ) ( 3 − 4 i ) Paso 2 – Aplicamos la propiedad distributiva:
z 3 z 10 = 15 − 20 i + 12 i − 16 i 2 z_3 z_{10} = 15 - 20i + 12i - 16i^2 z 3 z 10 = 15 − 20 i + 12 i − 16 i 2 Paso 3 – Simplificamos términos semejantes y recordamos que i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
z 3 z 10 = 15 − 8 i − 16 ( − 1 ) z_3 z_{10} = 15 - 8i - 16(-1) z 3 z 10 = 15 − 8 i − 16 ( − 1 ) z 3 z 10 = 15 − 8 i + 16 z_3 z_{10} = 15 - 8i + 16 z 3 z 10 = 15 − 8 i + 16 Paso 4 – Sumamos las partes reales:
z 3 z 10 = 31 − 8 i z_3 z_{10} = 31 - 8i z 3 z 10 = 31 − 8 i ✅ Resultado final:
z 3 z 10 = 31 − 8 i \boxed{z_3 z_{10} = 31 - 8i} z 3 z 10 = 31 − 8 i h) z 1 3 z_1^{3} z 1 3
Respuesta
1️⃣ Forma binómica
z 1 = 3 + 3 i z_1 = 3 + 3i z 1 = 3 + 3 i z 1 3 = ( 3 + 3 i ) 3 z_1^3 = (3 + 3i)^3 z 1 3 = ( 3 + 3 i ) 3 Aplicamos la expansión del cubo:
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 z 1 3 = 3 3 + 3 ( 3 2 ) ( 3 i ) + 3 ( 3 ) ( 3 i ) 2 + ( 3 i ) 3 z_1^3 = 3^3 + 3(3^2)(3i) + 3(3)(3i)^2 + (3i)^3 z 1 3 = 3 3 + 3 ( 3 2 ) ( 3 i ) + 3 ( 3 ) ( 3 i ) 2 + ( 3 i ) 3 z 1 3 = 27 + 81 i + 9 ( 9 i 2 ) + 27 i 3 z_1^3 = 27 + 81i + 9(9i^2) + 27i^3 z 1 3 = 27 + 81 i + 9 ( 9 i 2 ) + 27 i 3 Recordando que i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1 i 3 = − i i^3 = -i i 3 = − i
z 1 3 = 27 + 81 i + 81 ( − 1 ) + 27 ( − i ) z_1^3 = 27 + 81i + 81(-1) + 27(-i) z 1 3 = 27 + 81 i + 81 ( − 1 ) + 27 ( − i ) z 1 3 = 27 + 81 i − 81 − 27 i z_1^3 = 27 + 81i - 81 - 27i z 1 3 = 27 + 81 i − 81 − 27 i z 1 3 = − 54 + 54 i z_1^3 = -54 + 54i z 1 3 = − 54 + 54 i 2️⃣ Módulo y argumento
z 1 3 = 27 + 81 i − 81 − 27 i z_1^3 = 27 + 81i - 81 - 27i z 1 3 = 27 + 81 i − 81 − 27 i z 1 3 = − 54 + 54 i z_1^3 = -54 + 54i z 1 3 = − 54 + 54 i 2️⃣ Módulo y argumento
∣ z 1 ∣ = 3 2 + 3 2 = 9 + 9 = 18 = 3 2 |z_1| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ∣ z 1 ∣ = 3 2 + 3 2 = 9 + 9 = 18 = 3 2 α = tan − 1 ( 3 3 ) = tan − 1 ( 1 ) = π 4 \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{3}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} α = tan − 1 ( 3 3 ) = tan − 1 ( 1 ) = 4 π 3️⃣ Forma trigonométrica
z 1 = ∣ z 1 ∣ ( cos α + i sin α ) z_1 = |z_1|(\cos \alpha + i \sin \alpha) z 1 = ∣ z 1 ∣ ( cos α + i sin α ) z 1 3 = ( ∣ z 1 ∣ ) 3 [ cos ( 3 α ) + i sin ( 3 α ) ] z_1^3 = (|z_1|)^3 [\cos(3\alpha) + i \sin(3\alpha)] z 1 3 = ( ∣ z 1 ∣ ) 3 [ cos ( 3 α ) + i sin ( 3 α )] z 1 3 = ( 3 2 ) 3 [ cos ( 3 ⋅ π 4 ) + i sin ( 3 ⋅ π 4 ) ] z_1^3 = (3\sqrt{2})^3 [\cos(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4})] z 1 3 = ( 3 2 ) 3 [ cos ( 3 ⋅ 4 π ) + i sin ( 3 ⋅ 4 π )] z 1 3 = 27 ⋅ 2 2 [ cos ( 3 π 4 ) + i sin ( 3 π 4 ) ] z_1^3 = 27 \cdot 2\sqrt{2} [\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)] z 1 3 = 27 ⋅ 2 2 [ cos ( 4 3 π ) + i sin ( 4 3 π ) ] z 1 3 = 54 2 ( − 1 2 + i 1 2 ) z_1^3 = 54\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}\right) z 1 3 = 54 2 ( − 2 1 + i 2 1 ) z 1 3 = − 54 + 54 i z_1^3 = -54 + 54i z 1 3 = − 54 + 54 i ✅ Resultado final:
z 1 3 = − 54 + 54 i \boxed{z_1^3 = -54 + 54i} z 1 3 = − 54 + 54 i i) z 9 9 z_{9}^{9} z 9 9
Respuesta
1) Módulo y argumento de z 9 z_9 z 9
∣ z 9 ∣ = 2 2 + ( − 2 ) 2 = 8 = 2 2 , α = arg ( z 9 ) = tan − 1 ( − 2 2 ) = tan − 1 ( − 1 ) = − π 4 . |z_9|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
\qquad
\alpha=\arg(z_9)=\tan^{-1}\!\left(\frac{-2}{2}\right)=\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}. ∣ z 9 ∣ = 2 2 + ( − 2 ) 2 = 8 = 2 2 , α = arg ( z 9 ) = tan − 1 ( 2 − 2 ) = tan − 1 ( − 1 ) = − 4 π . 2) De Moivre:
z 9 9 = ( ∣ z 9 ∣ e i α ) 9 = ∣ z 9 ∣ 9 e i 9 α = ( 2 2 ) 9 e − i 9 π 4 . z_9^{\,9}=\big(|z_9|\,e^{i\alpha}\big)^{9}
=|z_9|^{9}\,e^{i\,9\alpha}
=(2\sqrt{2})^{9}\,e^{-i\,\frac{9\pi}{4}}. z 9 9 = ( ∣ z 9 ∣ e i α ) 9 = ∣ z 9 ∣ 9 e i 9 α = ( 2 2 ) 9 e − i 4 9 π . Como − 9 π 4 ≡ − π 4 ( mod 2 π ) -\dfrac{9\pi}{4}\equiv -\dfrac{\pi}{4}\ (\text{mod }2\pi) − 4 9 π ≡ − 4 π ( mod 2 π )
z 9 9 = ( 2 2 ) 9 [ cos ( − π 4 ) + i sin ( − π 4 ) ] = ( 2 2 ) 9 ( 1 2 − i 2 ) . z_9^{\,9}=(2\sqrt{2})^{9}\left[\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+
i\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]
=(2\sqrt{2})^{9}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right). z 9 9 = ( 2 2 ) 9 [ cos ( − 4 π ) + i sin ( − 4 π ) ] = ( 2 2 ) 9 ( 2 1 − 2 i ) . 3) Simplificación del módulo:
( 2 2 ) 9 = 2 9 ( 2 ) 9 = 2 9 ⋅ 2 9 2 = 2 13 2 . (2\sqrt{2})^{9}=2^{9}(\sqrt{2})^{9}
=2^{9}\cdot 2^{\frac{9}{2}}
=2^{13}\sqrt{2}. ( 2 2 ) 9 = 2 9 ( 2 ) 9 = 2 9 ⋅ 2 2 9 = 2 13 2 . Entonces:
z 9 9 = 2 13 2 ( 1 2 − i 2 ) = 2 13 ( 1 − i ) . z_9^{\,9}=2^{13}\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)
=2^{13}(1-i). z 9 9 = 2 13 2 ( 2 1 − 2 i ) = 2 13 ( 1 − i ) . ✅ Resultado final:
z 9 9 = 2 13 ( 1 − i ) = 8192 − 8192 i . \boxed{\,z_9^{\,9}=2^{13}(1-i)=8192-8192\,i\, }. z 9 9 = 2 13 ( 1 − i ) = 8192 − 8192 i . j) z 5 15 z_{5}^{15} z 5 15
Respuesta
Paso 1 – Reemplazamos el valor de z 5 z_5 z 5
z 5 15 = ( 5 i ) 15 z_5^{15} = (5i)^{15} z 5 15 = ( 5 i ) 15 Paso 2 – Separación de potencias:
z 5 15 = 5 15 ⋅ i 15 z_5^{15} = 5^{15} \cdot i^{15} z 5 15 = 5 15 ⋅ i 15 Paso 3 – Descomposición del exponente:
i 15 = i 4 × 3 + 3 i^{15} = i^{4 \times 3 + 3} i 15 = i 4 × 3 + 3 Paso 4 – Simplificación usando i 4 = 1 i^4 = 1 i 4 = 1
i 15 = ( i 4 ) 3 ⋅ i 3 i^{15} = (i^4)^3 \cdot i^3 i 15 = ( i 4 ) 3 ⋅ i 3 i 15 = 1 3 ⋅ i 3 i^{15} = 1^3 \cdot i^3 i 15 = 1 3 ⋅ i 3 Paso 5 – Recordamos que i 3 = − i i^3 = -i i 3 = − i
i 15 = − i i^{15} = -i i 15 = − i Paso 6 – Sustituimos en la expresión original:
z 5 15 = 5 15 ⋅ ( − i ) z_5^{15} = 5^{15} \cdot (-i) z 5 15 = 5 15 ⋅ ( − i ) z 5 15 = − 5 15 i z_5^{15} = -5^{15} i z 5 15 = − 5 15 i ✅ Resultado final:
z 5 15 = − 5 15 i \boxed{z_5^{15} = -5^{15} i} z 5 15 = − 5 15 i Estos ejercicio son bastantes complejos y los obviamos :(#
k) z 10 3 z_{10}^{3} z 10 3
Respuesta
l) Hallar las raíces cuartas de z 2 z_2 z 2
Respuesta
m) Hallar las raíces cúbicas de z 4 z_4 z 4
Respuesta
n) Hallar las raíces séptimas de i i i
Respuesta
